Thèse Calcul Diagrammatique pour les Représentations des Groupes Quantiques H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Picardie - Jules Verne École doctorale : Sciences, Technologie, Santé Laboratoire de recherche : LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématiques Fondamentales et Appliquées Direction de la thèse : Daniel JUTEAU ORCID 0000000237621391 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-01T23:59:59 Ce projet de thèse s'inscrit à l'interface de la théorie des représentations, de la théorie des catégories
et de l'algèbre effective. L'objet d'étude central est la catégorie C = Rep, constituée des représentations de dimension finie d'un groupe réductif G, ou son analogue quantique C = Rep\_q, la catégorie des modules de dimension finie sur le groupe quantique associé.

Dans le cas générique (caractéristique nulle, q non racine de l'unité), cette catégorie est semi-simple. La classification des objets simples ainsi que les multiplicités des poids sont parfaitement décrites par la théorie du plus haut poids et la formule des caractères de Weyl. À première vue, la structure de la catégorie semble donc entièrement élucidée. Mais ce serait oublier la complexité de la structure monoïdale de C. Le produit tensoriel de deux représentations simples se décompose en une somme directe de représentations simples selon des règles combinatoires riches et non triviales (généralisant les coefficients de Littlewood-Richardson). La description explicite des morphismes d'entrelacement reste un défi majeur, particulièrement lorsque le rang du groupe augmente.

Pour aborder ce problème, une stratégie fructueuse consiste à ne pas considérer tous les objets simples d'emblée, mais à se restreindre à une sous-catégorie plus maniable : la sous-catégorie pleine Fund de Rep dont les objets sont les produits tensoriels de représentations fondamentales. Tout module simple apparaissant comme facteur direct dans un tel produit tensoriel, la catégorie C se déduit de Fund par complétion idempotente.

La description de la catégorie des représentations se ramène donc à deux étapes distinctes :

1. Une présentation par générateurs et relations de la catégorie monoidale Fund, visant à
présenter les espaces de morphismes via des diagrammes planaires modulo des relations locales.

2. L'identification explicite des idempotents dans les algèbres d'endomorphismes de Fund qui
projettent sur les modules simples.

Ce sujet de thèse vise à développer et implémenter cette approche de manière systématique, en étendant les résultats connus en type A et en rang 2 aux autres types de groupes réductifs, et en développant des outils algorithmiques performants pour leur manipulation. Le cadre théorique général de ce projet repose sur la correspondance, établie par Joyal et Street, entre la structure algébrique des catégories monoidales rigides (tressées ou symétriques) et la topologie des diagrammes de cordes.

Historiquement, le premier exemple significatif de ce calcul diagrammatique apparait avec le groupe
SL2 . La sous-catégorie monoidale engendrée par la représentation naturelle (de dimension 2) est régie par la catégorie de Temperley-Lieb. Dans ce cas, les espaces de morphismes, liés à la dualité de Schur-Weyl classique, admettent une base combinatoire donnée par les appariements non croisés (non-crossing matchings), dont les dimensions sont les nombres de Catalan. Les morphismes sont engendrés par des coupes et calottes (cups and caps). En plus des relations d'isotopie, il suffit d'imposer la relation qu'une boucle vaut 2 (ou - q - 1/q dans le cas quantique).

Pour les groupes de rang supérieur, la combinatoire devient nettement plus riche. Les travaux fonda-
teurs de Kuperberg sur les araignées (spiders) [Kup96] ont généralisé cette approche aux groupes de rang 2.

Plus récemment, des progrès majeurs ont été réalisés pour le type A. Cautis, Kamnitzer et Morrison ont développé le calcul des toiles (webs), en s'appuyant sur la dualité de Howe antisymétrique (skew-Howe duality) [CKM14]. Leur approche fournit une présentation diagrammatique complète
de la sous-catégorie fondamentale pour SL(n) . L'identification des idempotents a été explorée par Elias [Eli15]. L'originalité de ce sujet de thèse réside dans son fort ancrage computationnel. L'implémentation s'appuiera sur l'écosystème CAP (Categories, Algorithms and Programming), développé au sein du homalg-project. Ce système, écrit principalement en GAP (et s'ouvrant progressivement vers Julia), prend le parti d'utiliser la théorie des catégories pour organiser les algorithmes.

Le candidat ou la candidate devra posséder un excellent bagage en mathématiques fondamentales, avec un intérêt marqué pour l'interaction entre l'algèbre et l'informatique.
- Compétences mathématiques. Une solide formation en algèbre (groupes et algèbres de Lie, repré-
sentations) et une connaissance de base en théorie des catégories (catégories monoidales) sont indispensables. Des notions sur les groupes quantiques seraient un atout.
- Compétences informatiques. Une appétence pour la programmation et l'algèbre effective est requise. Une expérience avec GAP, Julia, Python ou un système de calcul formel sera grandement
appréciée.
- Aptitudes personnelles. Le projet se déroulant dans le cadre d'une collaboration internationale
(Amiens/Siegen), le candidat devra faire preuve d'autonomie, d'un niveau d'anglais suffisant et d'un
goût pour le travail en équipe.